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Lei dos cossenos

Esta página foi traduzida do alemão com IA. Não foi revisada por um falante nativo. Página original em alemão

Você aprende a lei dos cossenos (der Kosinussatz). Ela vale em todo triângulo e generaliza o teorema de Pitágoras.
📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)

O vídeo

No vídeo você vê quando precisa da lei dos cossenos: com dois lados e o ângulo entre eles, ou com três lados. Depois calcula um lado e um ângulo.

Há legendas em dez idiomas. Escolha no vídeo, embaixo à direita.

Conteúdo do vídeo

  1. 0:00 Introdução
  2. 0:21 A lei dos cossenos
  3. 0:49 Pitágoras como caso especial
  4. 1:09 Calcular um lado
  5. 1:43 Calcular um ângulo
  6. 2:22 Atenção, erro!
  7. 2:48 Tente você mesmo

O mais importante

Lei dos cossenos

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma\). O lado \(c\) fica oposto a \(\gamma\). Igual para \(a\) e \(b\).

A lei dos cossenos em \triangle ABC.
A lei dos cossenos em \(\triangle ABC\).

Caso especial e aplicação

Com \(\gamma = 90^\circ\) temos \(\cos 90^\circ = 0\): sobra o teorema de Pitágoras. Lado: \(a = 5\), \(b = 7\), \(\gamma = 60^\circ\) dá \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}24\). Ângulo: \(\cos\gamma = (a^2 + b^2 - c^2) : 2ab\).

Calcular um lado: c^2 = 39, c \approx 6{,}24.
Calcular um lado: \(c^2 = 39\), \(c \approx 6{,}24\).
Erro: esquecer a raiz (c = 39). O certo é c = \sqrt{39}.
Erro: esquecer a raiz (\(c = 39\)). O certo é \(c = \sqrt{39}\).

A folha de exercícios

Aqui está a folha de exercícios do vídeo (em alemão). Primeiro ela explica tudo de novo, depois vêm exercícios em três níveis de dificuldade. Você também pode abrir como PDF e imprimir.

📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)

A folha de exercícios – Página 1
Página 1/3
A folha de exercícios – Página 2
Página 2/3
Mostrar as soluções da folha
A folha de exercícios – Página 3
Página 3/3

Tente você

Tarefa

\(a = 4\), \(b = 5\) e \(\gamma = 120^\circ\). Quanto mede \(c\)?

Mostrar solução

\(c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-0{,}5) = 61\), logo \(c \approx 7{,}81\).

Continue aprendendo com um modelo de linguagem

Você é meu professor de matemática. Estou aprendendo alemão como segunda língua. Nosso tema: Kosinussatz (zwei Seiten und Winkel dazwischen, drei Seiten, Pythagoras als Sonderfall). Dê-me cinco tarefas curtas, uma depois da outra. Sempre espere minha resposta. Depois diga se está certo e explique brevemente por quê. Use frases simples em alemão.

Como isto foi feito: a ideia, a estrutura e os exemplos da série são meus. A série foi feita com a ajuda de IA: um modelo de linguagem (LLM) criou os slides do vídeo seguindo as minhas instruções. A voz foi gerada com Qwen3-TTS, a partir da minha própria voz.

As legendas, as traduções, a folha de exercícios e esta página também foram feitas com a ajuda de IA. As traduções não foram revisadas por falantes nativos.

Os vídeos, as folhas de exercícios, os textos e os prompts desta série estão sob a licença CC BY 4.0: você pode usar, alterar e compartilhar, desde que cite a fonte.