targas-edu.de
DE ☾ A+

Теорема косинусов

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Ты узнаёшь теорему косинусов (der Kosinussatz). Она верна в каждом треугольнике и обобщает теорему Пифагора.
📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

В видео ты видишь, когда нужна теорема косинусов: при двух сторонах и угле между ними или при трёх сторонах. Потом ты вычисляешь сторону и угол.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Содержание видео

  1. 0:00 Введение
  2. 0:21 Теорема косинусов
  3. 0:49 Пифагор как частный случай
  4. 1:09 Вычисляем сторону
  5. 1:43 Вычисляем угол
  6. 2:22 Внимание, ошибка!
  7. 2:48 Попробуй сам

Самое важное

Теорема косинусов

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma\). Сторона \(c\) лежит напротив \(\gamma\). Так же для \(a\) и \(b\).

Теорема косинусов в \triangle ABC.
Теорема косинусов в \(\triangle ABC\).

Частный случай и применение

При \(\gamma = 90^\circ\) получается \(\cos 90^\circ = 0\): остаётся теорема Пифагора. Сторона: \(a = 5\), \(b = 7\), \(\gamma = 60^\circ\) даёт \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}24\). Угол: \(\cos\gamma = (a^2 + b^2 - c^2) : 2ab\).

Вычисляем сторону: c^2 = 39, c \approx 6{,}24.
Вычисляем сторону: \(c^2 = 39\), \(c \approx 6{,}24\).
Ошибка: забыли корень (c = 39). Правильно: c = \sqrt{39}.
Ошибка: забыли корень (\(c = 39\)). Правильно: \(c = \sqrt{39}\).

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1
Страница 1/3
Рабочий лист – Страница 2
Страница 2/3
Показать решения рабочего листа
Рабочий лист – Страница 3
Страница 3/3

Попробуй!

Задание

\(a = 4\), \(b = 5\) и \(\gamma = 120^\circ\). Чему равна \(c\)?

Показать решение

\(c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-0{,}5) = 61\), значит \(c \approx 7{,}81\).

Учиться дальше с языковой моделью

Ты мой учитель математики. Я учу немецкий как второй язык. Наша тема: Kosinussatz (zwei Seiten und Winkel dazwischen, drei Seiten, Pythagoras als Sonderfall). Дай мне по очереди пять коротких заданий. Всегда жди моего ответа. Потом скажи, правильно ли это, и коротко объясни почему. Используй простые немецкие предложения.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.