targas-edu.de
DE ☾ A+

Обем на кълбо

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Защо кълбото пълни две трети от цилиндъра? С принципа на Кавалиери и трик на Архимед намираш формулата.
📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Във видеото полукълбо и цилиндър без конус се разрязват на всяка височина.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Съдържание на видеото

  1. 0:00 Въведение
  2. 0:20 Архимед
  3. 0:44 Принципът на Кавалиери
  4. 1:28 Две тела
  5. 1:50 Сечението
  6. 3:11 Формулата
  7. 3:37 Кълбо и цилиндър
  8. 4:31 Опитай сам

Най-важното

Принципът на Кавалиери

Ако две тела имат на всяка височина еднакво големи сечения, те имат еднакъв обем. Пример: права и наклонена купчина от еднакви монети.

Две купчини монети с еднакъв обем.
Две купчини монети с еднакъв обем.

Полукълбо и цилиндър без конус

Сечение на височина \(h\): вляво кръг \(\pi \cdot (r^2 - h^2)\), вдясно пръстен \(\pi \cdot r^2 - \pi \cdot h^2\). Еднакви! Значи: \(V_\text{полукълбо} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) и \(V_\text{кълбо} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).

На всяка височина еднакви сечения.
На всяка височина еднакви сечения.

Архимед (около 287–212 пр. Хр., Сиракуза) показал: кълбото и цилиндърът са в отношение \(2 : 3\). Според Плутарх той искал кълбо и цилиндър на гроба си; Цицерон пише, че намерил гроба през 75 г. пр. Хр.

Кълбо : цилиндър = 2 : 3.
Кълбо : цилиндър = 2 : 3.

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1
Страница 1/4
Работният лист – Страница 2
Страница 2/4
Работният лист – Страница 3
Страница 3/4
Покажи решенията на работния лист
Работният лист – Страница 4
Страница 4/4

Опитай!

Задача

Смятай с \(\pi \approx 3{,}14\). Колко е обемът на кълбо с a) \(r = 3\) cm b) \(r = 10\) cm?

Покажи решението

a) \(113{,}04\text{ cm}^3\) b) \(\approx 4186{,}7\text{ cm}^3\)

Учи нататък с езиков модел

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Volumen der Kugel (Prinzip von Cavalieri, Halbkugel = Zylinder minus Kegel, V = 4/3 · π · r³, Archimedes). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.