Objętość kuli

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Dlaczego kula wypełnia dwie trzecie walca? Za pomocą zasady Cavalieriego i sztuczki Archimedesa znajdujesz wzór.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie półkulę i walec bez stożka przecina się na każdej wysokości.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Zasada Cavalieriego

Jeśli dwie bryły mają równe przekroje na każdej wysokości, mają taką samą objętość. Przykład: prosty i pochylony stos jednakowych monet.

Półkula i walec bez stożka

Tnij na wysokości \(h\): po lewej koło \(\pi \cdot (r^2 - h^2)\), po prawej pierścień \(\pi \cdot r^2 - \pi \cdot h^2\). Równe! Zatem: \(V_\text{półkuli} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) i \(V_\text{kuli} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).

Archimedes (ok. 287–212 p.n.e., Syrakuzy) wykazał: kula i walec mają stosunek \(2 : 3\). Według Plutarcha chciał mieć na grobie kulę i walec; Cyceron opowiada, że odnalazł grób w 75 r. p.n.e.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Użyj \(\pi \approx 3{,}14\). Jaka jest objętość kuli o a) \(r = 3\) cm b) \(r = 10\) cm?

Pokaż rozwiązanie

a) \(113{,}04\text{ cm}^3\) b) \(\approx 4186{,}7\text{ cm}^3\)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Volumen der Kugel (Prinzip von Cavalieri, Halbkugel = Zylinder minus Kegel, V = 4/3 · π · r³, Archimedes). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.