Volume da esfera
Esta página foi traduzida do alemão com IA. Não foi revisada por um falante nativo. Página original em alemão
O vídeo
No vídeo uma semiesfera e um cilindro sem cone são cortados em cada altura.
Conteúdo do vídeo
- 0:00 Introdução
- 0:20 Arquimedes
- 0:44 O princípio de Cavalieri
- 1:28 Dois sólidos
- 1:50 O corte
- 3:11 A fórmula
- 3:37 Esfera e cilindro
- 4:31 Tente você mesmo
O mais importante
O princípio de Cavalieri
Se dois sólidos têm cortes de mesma área em cada altura, eles têm o mesmo volume. Exemplo: uma pilha reta e uma pilha inclinada de moedas iguais.
Semiesfera e cilindro sem cone
Corte na altura \(h\): à esquerda um círculo \(\pi \cdot (r^2 - h^2)\), à direita um anel \(\pi \cdot r^2 - \pi \cdot h^2\). Iguais! Então: \(V_\text{semiesfera} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) e \(V_\text{esfera} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).
Arquimedes (cerca de 287–212 a.C., Siracusa) mostrou: esfera e cilindro estão na razão \(2 : 3\). Segundo Plutarco, ele queria uma esfera e um cilindro no seu túmulo; Cícero conta que encontrou o túmulo em 75 a.C.
A folha de exercícios
Aqui está a folha de exercícios do vídeo (em alemão). Primeiro ela explica tudo de novo, depois vêm exercícios em três níveis de dificuldade. Você também pode abrir como PDF e imprimir.
📄 Abrir folha de exercícios (PDF, em alemão)
Mostrar as soluções da folha
Tente você
Tarefa
Use \(\pi \approx 3{,}14\). Qual é o volume de uma esfera com a) \(r = 3\) cm b) \(r = 10\) cm?
Mostrar solução
a) \(113{,}04\text{ cm}^3\) b) \(\approx 4186{,}7\text{ cm}^3\)
Continue aprendendo com um modelo de linguagem
Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Volumen der Kugel (Prinzip von Cavalieri, Halbkugel = Zylinder minus Kegel, V = 4/3 · π · r³, Archimedes). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.
Como isto foi feito: a ideia, a estrutura e os exemplos da série são meus. A série foi feita com a ajuda de IA: um modelo de linguagem (LLM) criou os slides do vídeo seguindo as minhas instruções. A voz foi gerada com Qwen3-TTS, a partir da minha própria voz.
As legendas, as traduções, a folha de exercícios e esta página também foram feitas com a ajuda de IA. As traduções não foram revisadas por falantes nativos.
Os vídeos, as folhas de exercícios, os textos e os prompts desta série estão sob a licença CC BY 4.0: você pode usar, alterar e compartilhar, desde que cite a fonte.