targas-edu.de
DE ☾ A+

Запремина лопте

Ова страница је преведена са немачког уз помоћ вештачке интелигенције. Није је проверио изворни говорник. Оригинална страница на немачком

Зашто лопта пуни две трећине ваљка? Помоћу Кавалијеријевог принципа и Архимедовог трика налазиш формулу.
📄 Отвори радни лист (PDF, на немачком)

Видео

У видеу се полулопта и ваљак без купе секу на свакој висини.

Титлови постоје на десет језика. Бираш их у видеу доле десно.

Садржај видеа

  1. 0:00 Увод
  2. 0:20 Архимед
  3. 0:44 Кавалијеријев принцип
  4. 1:28 Два тела
  5. 1:50 Пресек
  6. 3:11 Формула
  7. 3:37 Лопта и ваљак
  8. 4:31 Пробај сам

Најважније

Кавалијеријев принцип

Ако два тела на свакој висини имају једнако велике пресеке, имају исту запремину. Пример: права и коса гомила једнаких новчића.

Две гомиле новчића са истом запремином.
Две гомиле новчића са истом запремином.

Полулопта и ваљак без купе

Пресек на висини \(h\): лево круг \(\pi \cdot (r^2 - h^2)\), десно прстен \(\pi \cdot r^2 - \pi \cdot h^2\). Једнако! Дакле: \(V_\text{polulopta} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) и \(V_\text{lopta} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).

На свакој висини једнаки пресеци.
На свакој висини једнаки пресеци.

Архимед (око 287–212. п. н. е., Сиракуза) је показао: лопта и ваљак су у односу \(2 : 3\). Према Плутарху, желео је лопту и ваљак на свом гробу; Цицерон пише да је пронашао гроб 75. п. н. е.

Лопта : ваљак = 2 : 3.
Лопта : ваљак = 2 : 3.

Радни лист

Овде је радни лист уз видео (на немачком). Прво још једном све објашњава, а онда долазе задаци на три нивоа тежине. Можеш да га отвориш и као PDF и да га одштампаш.

📄 Отвори радни лист (PDF, на немачком)

Радни лист – Страна 1
Страна 1/4
Радни лист – Страна 2
Страна 2/4
Радни лист – Страна 3
Страна 3/4
Прикажи решења радног листа
Радни лист – Страна 4
Страна 4/4

Пробај!

Задатак

Рачунај са \(\pi \approx 3{,}14\). Колика је запремина лопте са a) \(r = 3\) цм b) \(r = 10\) цм?

Прикажи решење

a) \(113{,}04\text{ cm}^3\) b) \(\approx 4186{,}7\text{ cm}^3\)

Учи даље уз језички модел

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Volumen der Kugel (Prinzip von Cavalieri, Halbkugel = Zylinder minus Kegel, V = 4/3 · π · r³, Archimedes). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Како је ово настало: идеја, структура и примери серије су моји. Серија је урађена уз помоћ вештачке интелигенције: слајдове видеа направио је језички модел (LLM) по мојим упутствима. Глас је направљен помоћу Qwen3-TTS, по узору на мој сопствени глас.

И титлови, преводи, радни лист и ова страница настали су уз помоћ вештачке интелигенције. Преводе није проверио изворни говорник.

Видео снимци, радни листови, текстови и промптови ове серије објављени су под лиценцом CC BY 4.0: смеш да их користиш, мењаш и делиш ако наведеш извор.