targas-edu.de
DE ☾ A+

Zapremina lopte

Ova stranica je prevedena sa nemačkog uz pomoć veštačke inteligencije. Nije je proverio izvorni govornik. Originalna stranica na nemačkom

Zašto lopta puni dve trećine valjka? Pomoću Kavalijerijevog principa i Arhimedovog trika nalaziš formulu.
📄 Otvori radni list (PDF, na nemačkom)

Video

U videu se polulopta i valjak bez kupe seku na svakoj visini.

Titlovi postoje na deset jezika. Biraš ih u videu dole desno.

Sadržaj videa

  1. 0:00 Uvod
  2. 0:20 Arhimed
  3. 0:44 Kavalijerijev princip
  4. 1:28 Dva tela
  5. 1:50 Presek
  6. 3:11 Formula
  7. 3:37 Lopta i valjak
  8. 4:31 Probaj sam

Najvažnije

Kavalijerijev princip

Ako dva tela na svakoj visini imaju jednako velike preseke, imaju istu zapreminu. Primer: prava i kosa gomila jednakih novčića.

Dve gomile novčića sa istom zapreminom.
Dve gomile novčića sa istom zapreminom.

Polulopta i valjak bez kupe

Presek na visini \(h\): levo krug \(\pi \cdot (r^2 - h^2)\), desno prsten \(\pi \cdot r^2 - \pi \cdot h^2\). Jednako! Dakle: \(V_\text{polulopta} = \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) i \(V_\text{lopta} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).

Na svakoj visini jednaki preseci.
Na svakoj visini jednaki preseci.

Arhimed (oko 287–212. p. n. e., Sirakuza) je pokazao: lopta i valjak su u odnosu \(2 : 3\). Prema Plutarhu, želeo je loptu i valjak na svom grobu; Ciceron piše da je pronašao grob 75. p. n. e.

Lopta : valjak = 2 : 3.
Lopta : valjak = 2 : 3.

Radni list

Ovde je radni list uz video (na nemačkom). Prvo još jednom sve objašnjava, a onda dolaze zadaci na tri nivoa težine. Možeš da ga otvoriš i kao PDF i da ga odštampaš.

📄 Otvori radni list (PDF, na nemačkom)

Radni list – Strana 1
Strana 1/4
Radni list – Strana 2
Strana 2/4
Radni list – Strana 3
Strana 3/4
Prikaži rešenja radnog lista
Radni list – Strana 4
Strana 4/4

Probaj!

Zadatak

Računaj sa \(\pi \approx 3{,}14\). Kolika je zapremina lopte sa a) \(r = 3\) cm b) \(r = 10\) cm?

Prikaži rešenje

a) \(113{,}04\text{ cm}^3\) b) \(\approx 4186{,}7\text{ cm}^3\)

Uči dalje uz jezički model

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Volumen der Kugel (Prinzip von Cavalieri, Halbkugel = Zylinder minus Kegel, V = 4/3 · π · r³, Archimedes). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Kako je ovo nastalo: ideja, struktura i primeri serije su moji. Serija je urađena uz pomoć veštačke inteligencije: slajdove videa napravio je jezički model (LLM) po mojim uputstvima. Glas je napravljen pomoću Qwen3-TTS, po uzoru na moj sopstveni glas.

I titlovi, prevodi, radni list i ova stranica nastali su uz pomoć veštačke inteligencije. Prevode nije proverio izvorni govornik.

Video snimci, radni listovi, tekstovi i promptovi ove serije objavljeni su pod licencom CC BY 4.0: smeš da ih koristiš, menjaš i deliš ako navedeš izvor.