targas-edu.de
DE ☾ A+

Wzory skróconego mnożenia

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Kwadrat ma bok 5. Co się dzieje z polem, gdy bok jest o 2 dłuższy albo krótszy? Z rysunku powstają trzy wzory skróconego mnożenia (binomische Formeln).
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

Zwróć uwagę na kolory: \( a \) i \( a^2 \) są niebieskie, \( b \) i \( b^2 \) są fioletowe, paski \( ab \) są pomarańczowe.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Wstęp
  2. 0:24 Plus dwa
  3. 1:03 Pierwszy wzór
  4. 1:30 Przykłady
  5. 1:58 Minus dwa
  6. 2:38 Drugi wzór
  7. 3:03 Dłuższy i krótszy
  8. 3:43 Trzeci wzór
  9. 4:11 Wszystkie trzy wzory
  10. 4:30 Spróbuj sam

Najważniejsze

Bok 5: pole \( 25 \). Bok \( 5 + 2 = 7 \): pole \( 7^2 = 49 \) – nie \( 25 + 4 = 29 \)! Na rysunku widać dlaczego: \( 25 + 10 + 10 + 4 = 49 \). Stary kwadrat, dwa paski i mały kwadracik w rogu.

Stary kwadrat (25), dwa paski (po 10) i róg (4).
Stary kwadrat (25), dwa paski (po 10) i róg (4).

1. wzór skróconego mnożenia

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Nie zapomnij o dwóch paskach! Przykłady: \( 11^2 = (10 + 1)^2 = 100 + 20 + 1 = 121 \), \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \).

Bok \( 5 - 2 = 3 \): pole \( 9 = 25 - 10 - 10 + 4 \). Róg został odcięty dwa razy, dlatego wraca raz.

Dwa paski precz, róg raz z powrotem: 25 - 10 - 10 + 4 = 9 .
Dwa paski precz, róg raz z powrotem: \( 25 - 10 - 10 + 4 = 9 \).

2. wzór skróconego mnożenia

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Na końcu stoi plus \( b^2 \). Przykład: \( 9^2 = (10 - 1)^2 = 100 - 20 + 1 = 81 \).

Jeden bok +2 , drugi -2 : róg wycięty, kawałek obrócony – prostokąt 7 · 3 = 21 = 25 - 4 .
Jeden bok \( +2 \), drugi \( -2 \): róg wycięty, kawałek obrócony – prostokąt \( 7 \cdot 3 = 21 = 25 - 4 \).

3. wzór skróconego mnożenia

\( (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \). Przykłady: \( 21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399 \), \( (x + 5)(x - 5) = x^2 - 25 \).

Uwaga, częsty błąd: \( (a + b)^2 \) to nie \( a^2 + b^2 \).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/6
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/6
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/6
Karta pracy – Strona 4
Strona 4/6
Karta pracy – Strona 5
Strona 5/6
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 6
Strona 6/6

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz ze wzorów skróconego mnożenia: a) \( 31^2 \) b) \( 19^2 \) c) \( 12 \cdot 8 \) d) \( (x + 4)^2 \)

Pokaż rozwiązanie

a) \( 900 + 60 + 1 = 961 \) b) \( 400 - 40 + 1 = 361 \) c) \( 100 - 4 = 96 \) d) \( x^2 + 8x + 16 \)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: die drei binomischen Formeln (a + b)², (a − b)² und (a + b)(a − b), auch zum Kopfrechnen. Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.