Pierwiastek z 2 jest niewymierny

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Przekątna kwadratu o boku 1 to \( \sqrt{2} \). Tej liczby nie da się zapisać jako ułamek: jest niewymierna. Do tego spojrzenie w historię – od Babilonu do pitagorejczyków.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

Zwróć uwagę na kolory: przekątna i \( \sqrt{2} \) są pomarańczowe, małe kwadraty są niebieskie.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Cztery kwadraty o boku 1 tworzą duży kwadrat o polu 4. Cztery przekątne tworzą skośny kwadrat z czterech połówek kwadratów – pole 2. Jego bokiem jest przekątna. Zatem przekątna to \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

Skośny kwadrat ma pole 2. Jego bokiem jest przekątna \sqrt{2} . — Skośny kwadrat ma pole 2. Jego bokiem jest przekątna \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – prawie 2, ale nigdy dokładnie. Ułamki też nigdy nie trafiają dokładnie: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

Dowód: gdyby \sqrt{2} = p/q było ułamkiem całkowicie skróconym, to p i q byłyby parzyste – sprzeczność. — Dowód: gdyby \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) było ułamkiem całkowicie skróconym, to \( p \) i \( q \) byłyby parzyste – sprzeczność.

Wymierne i niewymierne

Wymierna: da się zapisać jako ułamek, np. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) albo \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (trójka się powtarza). Niewymierna: nie da się jako ułamek, cyfry nigdy się nie kończą i nigdy się nie powtarzają, np. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Jeśli liczba naturalna nie jest kwadratem liczby naturalnej, jej pierwiastek jest niewymierny.

Babilon (około 1700 r. p.n.e.): gliniana tabliczka z \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Grecja (około 500 r. p.n.e.): pitagorejczycy i Hippasos. — Babilon (około 1700 r. p.n.e.): gliniana tabliczka z \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Grecja (około 500 r. p.n.e.): pitagorejczycy i Hippasos.

Pitagorejczycy wierzyli: „Wszystko jest liczbą“. Pitagorejczyk Hippasos miał odkryć, że bok i przekątna nie pasują do żadnego stosunku liczb całkowitych. Legenda mówi, że zdradził tę tajemnicę i utonął w morzu. Historycy uważają dziś tę legendę za mało wiarygodną.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Wymierna czy niewymierna? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

Pokaż rozwiązanie

a) wymierna (5) b) niewymierna c) wymierna d) niewymierna

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Die Wurzel aus 2 ist irrational (Diagonale im Quadrat, rationale und irrationale Zahlen). Stelle mir nacheinander fünf kurze Fragen. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.