Twierdzenie Pitagorasa

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Najsłynniejsze twierdzenie szkolnej matematyki: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Z kwadratami na bokach, sznurem z węzłami, dowodem z dwoma dużymi kwadratami – i jest starsze niż Pitagoras.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

Zwróć uwagę na kolory: \( a \) jest niebieskie, \( b \) jest fioletowe, przeciwprostokątna \( c \) jest żółta, trójkąty w dowodzie są pomarańczowe.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok nazywa się przeciwprostokątna (die Hypotenuse) \( c \). Leży naprzeciw kąta prostego. Dwa pozostałe boki nazywają się przyprostokątne (die Katheten) \( a \) i \( b \).

Kwadraty na bokach: 9 + 16 = 25 . — Kwadraty na bokach: \( 9 + 16 = 25 \).

Twierdzenie Pitagorasa (der Satz des Pythagoras)

W każdym trójkącie prostokątnym zachodzi \( a^2 + b^2 = c^2 \). Kwadraty na przyprostokątnych razem są tak duże jak kwadrat na przeciwprostokątnej. Przykład: \( 6^2 + 8^2 = 100 \), więc \( c = \sqrt{100} = 10 \).

Twierdzenie jest starsze niż Pitagoras (około 500 r. p.n.e.): już w Babilonie (około 1800 r. p.n.e.) na glinianej tabliczce stoją liczby, które dokładnie do niego pasują. Czy Pitagoras je udowodnił, nie wiadomo.

Sznur z węzłami o 12 odcinkach: 3^2 + 4^2 = 5^2 daje kąt prosty. Czy napinacze sznurów w starożytnym Egipcie tak pracowali, to tylko przypuszczenie. — Sznur z węzłami o 12 odcinkach: \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \) daje kąt prosty. Czy napinacze sznurów w starożytnym Egipcie tak pracowali, to tylko przypuszczenie.

Dowód: po lewej 4 trójkąty + c^2 , po prawej 4 trójkąty + a^2 + b^2 . Bez trójkątów zostaje c^2 = a^2 + b^2 . — Dowód: po lewej 4 trójkąty + \( c^2 \), po prawej 4 trójkąty + \( a^2 + b^2 \). Bez trójkątów zostaje \( c^2 = a^2 + b^2 \).

Uwaga: twierdzenie obowiązuje tylko w trójkącie prostokątnym, a \( c \) jest zawsze najdłuższym bokiem. Z \( c^2 = 100 \) wynika \( c = 10 \), nie 50.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz przeciwprostokątną: a) \( a = 3,\ b = 4 \) b) \( a = 5,\ b = 12 \) c) \( a = 8,\ b = 15 \)

Pokaż rozwiązanie

a) \( 5 \) b) \( 13 \) c) \( 17 \)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: der Satz des Pythagoras (a² + b² = c², Hypotenuse und Katheten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.