targas-edu.de
DE ☾ A+

Формулы сокращённого умножения

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

У квадрата сторона 5. Что происходит с площадью (die Fläche), если сторона становится на 2 длиннее или короче? Из рисунка получаются три формулы (die binomischen Formeln).
📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

Обрати внимание на цвета: \( a \) и \( a^2 \) — синие, \( b \) и \( b^2 \) — фиолетовые, полосы \( ab \) — оранжевые.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Содержание видео

  1. 0:00 Введение
  2. 0:24 Плюс два
  3. 1:03 Первая формула
  4. 1:30 Примеры
  5. 1:58 Минус два
  6. 2:38 Вторая формула
  7. 3:03 Длиннее и короче
  8. 3:43 Третья формула
  9. 4:11 Все три формулы
  10. 4:30 Попробуй сам

Самое важное

Сторона 5: площадь \( 25 \). Сторона \( 5 + 2 = 7 \): площадь \( 7^2 = 49 \) – а не \( 25 + 4 = 29 \)! Рисунок показывает почему: \( 25 + 10 + 10 + 4 = 49 \). Старый квадрат, две полосы и маленький квадрат в углу.

Старый квадрат (25), две полосы (по 10) и угол (4).
Старый квадрат (25), две полосы (по 10) и угол (4).

1-я формула

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Не забывай две полосы! Примеры: \( 11^2 = (10 + 1)^2 = 100 + 20 + 1 = 121 \), \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \).

Сторона \( 5 - 2 = 3 \): площадь \( 9 = 25 - 10 - 10 + 4 \). Угол отрезали дважды, поэтому он возвращается один раз.

Две полосы долой, угол один раз обратно: 25 - 10 - 10 + 4 = 9 .
Две полосы долой, угол один раз обратно: \( 25 - 10 - 10 + 4 = 9 \).

2-я формула

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). В конце стоит плюс \( b^2 \). Пример: \( 9^2 = (10 - 1)^2 = 100 - 20 + 1 = 81 \).

Одна сторона +2 , другая -2 : вырезать угол, повернуть кусок – прямоугольник 7 · 3 = 21 = 25 - 4 .
Одна сторона \( +2 \), другая \( -2 \): вырезать угол, повернуть кусок – прямоугольник \( 7 \cdot 3 = 21 = 25 - 4 \).

3-я формула

\( (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \). Примеры: \( 21 \cdot 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 400 - 1 = 399 \), \( (x + 5)(x - 5) = x^2 - 25 \).

Внимание, частая ошибка: \( (a + b)^2 \) — это не \( a^2 + b^2 \).

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1
Страница 1/6
Рабочий лист – Страница 2
Страница 2/6
Рабочий лист – Страница 3
Страница 3/6
Рабочий лист – Страница 4
Страница 4/6
Рабочий лист – Страница 5
Страница 5/6
Показать решения рабочего листа
Рабочий лист – Страница 6
Страница 6/6

Попробуй!

Задание

Посчитай с помощью формул: a) \( 31^2 \) b) \( 19^2 \) c) \( 12 \cdot 8 \) d) \( (x + 4)^2 \)

Показать решение

a) \( 900 + 60 + 1 = 961 \) b) \( 400 - 40 + 1 = 361 \) c) \( 100 - 4 = 96 \) d) \( x^2 + 8x + 16 \)

Учиться дальше с языковой моделью

Ты мой учитель математики. Я учу немецкий как второй язык. Наша тема: три формулы сокращённого умножения (a + b)², (a − b)² и (a + b)(a − b), также для устного счёта. Дай мне по очереди пять коротких заданий. Всегда жди моего ответа. Потом скажи, правильно ли, и коротко объясни почему. Пиши простыми немецкими предложениями и после каждого предложения давай перевод на русский в скобках.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.