Корень из 2 — иррациональное число

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Диагональ (die Diagonale) квадрата со стороной 1 равна \( \sqrt{2} \). Это число нельзя записать дробью: оно иррационально. А ещё взгляд в историю – от Вавилона до пифагорейцев.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

Обрати внимание на цвета: диагональ и \( \sqrt{2} \) — оранжевые, маленькие квадраты — синие.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

Четыре квадрата со стороной 1 образуют большой квадрат площадью 4. Четыре диагонали образуют наклонный квадрат из четырёх половинок – площадь 2. Его сторона — диагональ. Значит, диагональ равна \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

Площадь наклонного квадрата — 2. Его сторона — диагональ \sqrt{2} . — Площадь наклонного квадрата — 2. Его сторона — диагональ \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – почти 2, но никогда не ровно. Дроби тоже не попадают точно: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

Доказательство: если бы \sqrt{2} = p/q было несократимой дробью, p и q оба были бы чётными – противоречие. — Доказательство: если бы \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) было несократимой дробью, \( p \) и \( q \) оба были бы чётными – противоречие.

Рациональные и иррациональные числа

Рациональное: можно записать дробью, например \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) или \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (тройка повторяется). Иррациональное: дробью записать нельзя, цифры никогда не кончаются и не повторяются, например \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Если натуральное число не квадрат, его корень иррационален.

Вавилон (около 1700 г. до н. э.): глиняная табличка с \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Греция (около 500 г. до н. э.): пифагорейцы и Гиппас. — Вавилон (около 1700 г. до н. э.): глиняная табличка с \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Греция (около 500 г. до н. э.): пифагорейцы и Гиппас.

Пифагорейцы верили: «Всё есть число». Пифагореец Гиппас, по преданию, открыл, что сторона и диагональ не укладываются ни в какое отношение целых чисел. Легенда рассказывает, что он выдал тайну и утонул в море. Историки сегодня считают эту легенду маловероятной.

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/7

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/7

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/7

Рабочий лист – Страница 4 — Страница 4/7

Рабочий лист – Страница 5 — Страница 5/7

Рабочий лист – Страница 6 — Страница 6/7

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 7 — Страница 7/7

Попробуй!

Задание

Рационально или иррационально? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

Показать решение

a) рационально (5) b) иррационально c) рационально d) иррационально

Учиться дальше с языковой моделью

Ты мой учитель математики. Я учу немецкий как второй язык. Наша тема: корень из 2 иррационален (диагональ квадрата, рациональные и иррациональные числа). Задай мне по очереди пять коротких вопросов. Всегда жди моего ответа. Потом скажи, правильно ли, и коротко объясни почему. Пиши простыми немецкими предложениями и после каждого предложения давай перевод на русский в скобках.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.