Коренът от 2 е ирационален

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Диагоналът (die Diagonale) на квадрат със страна 1 е \( \sqrt{2} \). Това число не може да се запише като дроб: то е ирационално. И поглед в историята – от Вавилон до питагорейците.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Обърни внимание на цветовете: диагоналът и \( \sqrt{2} \) са оранжеви, малките квадрати са сини.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Най-важното

Четири квадрата със страна 1 образуват голям квадрат с лице 4. Четирите диагонала образуват наклонен квадрат от четири половинки – лице 2. Страната му е диагоналът. Значи диагоналът е \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

Наклоненият квадрат има лице 2. Страната му е диагоналът \sqrt{2} . — Наклоненият квадрат има лице 2. Страната му е диагоналът \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – почти 2, но никога точно. И дробите не уцелват точно: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

Доказателството: ако \sqrt{2} = p/q беше несъкратима дроб, p и q щяха да са четни – противоречие. — Доказателството: ако \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) беше несъкратима дроб, \( p \) и \( q \) щяха да са четни – противоречие.

Рационални и ирационални числа

Рационално: може да се запише като дроб, напр. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) или \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (тройката се повтаря). Ирационално: не може да е дроб, цифрите никога не свършват и не се повтарят, напр. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Ако едно естествено число не е точен квадрат, коренът му е ирационален.

Вавилон (около 1700 г. пр. Хр.): глинена плочка с \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Гърция (около 500 г. пр. Хр.): питагорейците и Хипас. — Вавилон (около 1700 г. пр. Хр.): глинена плочка с \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Гърция (около 500 г. пр. Хр.): питагорейците и Хипас.

Питагорейците вярвали: „Всичко е число.“ Питагореецът Хипас открил, според преданието, че страната и диагоналът не се побират в отношение на цели числа. Легенда разказва, че той издал тайната и се удавил в морето. Историците днес смятат легендата за малко вероятна.

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1 — Страница 1/7

Работният лист – Страница 2 — Страница 2/7

Работният лист – Страница 3 — Страница 3/7

Работният лист – Страница 4 — Страница 4/7

Работният лист – Страница 5 — Страница 5/7

Работният лист – Страница 6 — Страница 6/7

Покажи решенията на работния лист

Работният лист – Страница 7 — Страница 7/7

Опитай!

Задача

Рационално или ирационално? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

Покажи решението

a) рационално (5) b) ирационално c) рационално d) ирационално

Учи нататък с езиков модел

Ти си моят учител по математика. Уча немски като втори език. Нашата тема: коренът от 2 е ирационален (диагонал в квадрат, рационални и ирационални числа). Задай ми един след друг пет кратки въпроса. Винаги чакай моя отговор. После ми кажи дали е вярно и обясни накратко защо. Пиши с прости немски изречения и след всяко изречение дай превод на български в скоби.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.