targas-edu.de
DE ☾ A+

La raíz de 2 es irracional

Esta página se tradujo del alemán con IA. Ningún hablante nativo la ha revisado. Página original en alemán

La diagonal del cuadrado de lado 1 es \( \sqrt{2} \). Este número no se puede escribir como fracción: es irracional. Además, una mirada a la historia, de Babilonia a los pitagóricos.
📄 Abrir la hoja de trabajo (PDF, en alemán)

El vídeo

Fíjate en los colores: la diagonal y \( \sqrt{2} \) son naranjas, los cuadraditos son azules.

Hay subtítulos en diez idiomas. Los eliges en el vídeo, abajo a la derecha.

Contenido del vídeo

  1. 0:00 Introducción
  2. 0:21 Un truco con superficies
  3. 0:59 ¿Cuánto es la raíz de dos?
  4. 1:36 ¿Una fracción?
  5. 2:04 La demostración
  6. 3:01 Números irracionales
  7. 3:30 Una mirada a la historia
  8. 4:38 Otras raíces
  9. 5:00 Pruébalo tú mismo

Lo más importante

Cuatro cuadrados de lado 1 forman un cuadrado grande de superficie 4. Las cuatro diagonales forman un cuadrado inclinado de cuatro medios cuadrados: superficie 2. Su lado es la diagonal. Por tanto, la diagonal es \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

El cuadrado inclinado tiene superficie 2. Su lado es la diagonal \sqrt{2} .
El cuadrado inclinado tiene superficie 2. Su lado es la diagonal \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \): casi 2, pero nunca exacto. Tampoco las fracciones aciertan nunca: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

La demostración: si \sqrt{2} = p/q fuera una fracción totalmente simplificada, p y q serían los dos pares: contradicción.
La demostración: si \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) fuera una fracción totalmente simplificada, \( p \) y \( q \) serían los dos pares: contradicción.

Racional e irracional

Racional: se puede escribir como fracción, p. ej. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) o \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (el 3 se repite). Irracional: no es posible como fracción, las cifras nunca terminan y nunca se repiten, p. ej. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Si un número natural no es un cuadrado perfecto, su raíz es irracional.

Babilonia (hacia 1700 a. C.): tablilla de arcilla con \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Grecia (hacia 500 a. C.): los pitagóricos e Hipaso.
Babilonia (hacia 1700 a. C.): tablilla de arcilla con \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Grecia (hacia 500 a. C.): los pitagóricos e Hipaso.

Los pitagóricos creían: «Todo es número». Se dice que el pitagórico Hipaso descubrió que el lado y la diagonal no encajan en ninguna razón de números enteros. Una leyenda cuenta que reveló el secreto y se ahogó en el mar. Los historiadores hoy consideran la leyenda poco creíble.

La hoja de trabajo

Aquí ves la hoja de trabajo del vídeo (en alemán). Arriba explica todo otra vez; después hay ejercicios con tres niveles de dificultad. También puedes abrirla como PDF e imprimirla.

📄 Abrir la hoja de trabajo (PDF, en alemán)

La hoja de trabajo – Página 1
Página 1/7
La hoja de trabajo – Página 2
Página 2/7
La hoja de trabajo – Página 3
Página 3/7
La hoja de trabajo – Página 4
Página 4/7
La hoja de trabajo – Página 5
Página 5/7
La hoja de trabajo – Página 6
Página 6/7
Mostrar las soluciones de la hoja de trabajo
La hoja de trabajo – Página 7
Página 7/7

Pruébalo tú mismo

Ejercicio

¿Racional o irracional? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

Mostrar la solución

a) racional (5) b) irracional c) racional d) irracional

Seguir aprendiendo con un modelo de lenguaje

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Die Wurzel aus 2 ist irrational (Diagonale im Quadrat, rationale und irrationale Zahlen). Stelle mir nacheinander fünf kurze Fragen. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Así se hizo: la idea, la estructura y los ejemplos de la serie son míos. Los realicé con ayuda de IA: un modelo de lenguaje (LLM) construyó las diapositivas del vídeo siguiendo mis instrucciones. La voz se generó con Qwen3-TTS, a partir de mi propia voz.

También los subtítulos, las traducciones, la hoja de trabajo y esta página se hicieron con ayuda de IA. Ningún hablante nativo ha revisado las traducciones.

Los vídeos, las hojas de trabajo, los textos y los prompts de esta serie tienen la licencia CC BY 4.0: puedes usarlos, modificarlos y compartirlos si nombras la fuente.