De wortel uit 2 is irrationaal

Deze pagina is met AI uit het Duits vertaald. Ze is niet door een moedertaalspreker gecontroleerd. Originele pagina in het Duits

De diagonaal van het vierkant met zijde 1 is \( \sqrt{2} \). Dit getal kun je niet als breuk schrijven: het is irrationaal. Daarbij een blik in de geschiedenis – van Babylon tot de Pythagoreeërs.

📄 Werkblad openen (PDF, in het Duits)

De video

Let op de kleuren: de diagonaal en \( \sqrt{2} \) zijn oranje, de kleine vierkanten zijn blauw.

Ondertitels zijn er in tien talen. Je kiest ze in de video, rechtsonder.

Het belangrijkste

Vier vierkanten met zijde 1 vormen een groot vierkant met oppervlakte 4. De vier diagonalen vormen een schuin vierkant van vier halve vierkanten – oppervlakte 2. De zijde daarvan is de diagonaal. Dus is de diagonaal \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

Het schuine vierkant heeft oppervlakte 2. De zijde is de diagonaal \sqrt{2} . — Het schuine vierkant heeft oppervlakte 2. De zijde is de diagonaal \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – bijna 2, maar nooit precies. Ook breuken raken nooit precies: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

Het bewijs: was \sqrt{2} = p/q een volledig vereenvoudigde breuk, dan waren p en q allebei even – tegenspraak. — Het bewijs: was \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) een volledig vereenvoudigde breuk, dan waren \( p \) en \( q \) allebei even – tegenspraak.

Rationaal en irrationaal

Rationaal: als breuk te schrijven, bijv. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) of \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (de 3 herhaalt zich). Irrationaal: geen breuk mogelijk, de cijfers houden nooit op en herhalen zich nooit, bijv. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Is een natuurlijk getal geen kwadraat van een natuurlijk getal, dan is zijn wortel irrationaal.

Babylon (ongeveer 1700 v.Chr.): kleitablet met \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Griekenland (ongeveer 500 v.Chr.): de Pythagoreeërs en Hippasos. — Babylon (ongeveer 1700 v.Chr.): kleitablet met \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Griekenland (ongeveer 500 v.Chr.): de Pythagoreeërs en Hippasos.

De Pythagoreeërs geloofden: „Alles is getal.“ De Pythagoreeër Hippasos zou ontdekt hebben dat zijde en diagonaal in geen enkele verhouding van gehele getallen passen. Een legende vertelt dat hij het geheim verried en in zee verdronk. Historici achten de legende tegenwoordig weinig geloofwaardig.

Het werkblad

Hier zie je het werkblad bij de video (in het Duits). Bovenaan wordt alles nog een keer uitgelegd, daarna komen er oefeningen op drie niveaus. Je kunt het ook als PDF openen en uitprinten.

📄 Werkblad openen (PDF, in het Duits)

Antwoorden van het werkblad tonen

Probeer het zelf

Opgave

Rationaal of irrationaal? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

Antwoord tonen

a) rationaal (5) b) irrationaal c) rationaal d) irrationaal

Verder leren met een taalmodel

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Die Wurzel aus 2 ist irrational (Diagonale im Quadrat, rationale und irrationale Zahlen). Stelle mir nacheinander fünf kurze Fragen. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Zo is het gemaakt: het idee, de opzet en de voorbeelden van de serie zijn van mij. Ik heb ze met hulp van AI uitgewerkt: een taalmodel (LLM) bouwde de dia's van de video volgens mijn aanwijzingen. De stem is gemaakt met Qwen3-TTS, naar het voorbeeld van mijn eigen stem.

Ook de ondertitels, de vertalingen, het werkblad en deze pagina zijn met hulp van AI gemaakt. De vertalingen zijn niet door een moedertaalspreker gecontroleerd.

De video's, werkbladen, teksten en prompts van deze serie vallen onder de licentie CC BY 4.0: je mag ze gebruiken, aanpassen en delen als je de bron noemt.