Корен из 2 је ирационалан

Ова страница је преведена са немачког уз помоћ вештачке интелигенције. Није је проверио изворни говорник. Оригинална страница на немачком

Дијагонала (die Diagonale) квадрата са страницом 1 је \( \sqrt{2} \). Тај број не може да се запише као разломак: он је ирационалан. И поглед у историју – од Вавилона до питагорејаца.

📄 Отвори радни лист (PDF, на немачком)

Видео

Обрати пажњу на боје: дијагонала и \( \sqrt{2} \) су наранџасте, мали квадрати су плави.

Титлови постоје на десет језика. Бираш их у видеу доле десно.

Најважније

Четири квадрата са страницом 1 чине велики квадрат површине 4. Четири дијагонале чине коси квадрат од четири половине – површина 2. Његова страница је дијагонала. Дакле дијагонала је \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

Коси квадрат има површину 2. Његова страница је дијагонала \sqrt{2} . — Коси квадрат има површину 2. Његова страница је дијагонала \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – скоро 2, али никад тачно. Ни разломци не погађају тачно: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

Доказ: када би \sqrt{2} = p/q био потпуно скраћен разломак, p и q би оба била парна – контрадикција. — Доказ: када би \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) био потпуно скраћен разломак, \( p \) и \( q \) би оба била парна – контрадикција.

Рационални и ирационални бројеви

Рационалан: може да се запише као разломак, нпр. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) или \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (тројка се понавља). Ирационалан: разломак није могућ, цифре никада не престају и не понављају се, нпр. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Ако природан број није квадрат, његов корен је ирационалан.

Вавилон (око 1700. п. н. е.): глинена плочица са \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Грчка (око 500. п. н. е.): питагорејци и Хипас. — Вавилон (око 1700. п. н. е.): глинена плочица са \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Грчка (око 500. п. н. е.): питагорејци и Хипас.

Питагорејци су веровали: „Све је број.“ Питагорејац Хипас је, како се прича, открио да страница и дијагонала не стају ни у један однос целих бројева. Легенда каже да је одао тајну и удавио се у мору. Историчари данас сматрају легенду мало вероватном.

Радни лист

Овде је радни лист уз видео (на немачком). Прво још једном све објашњава, а онда долазе задаци на три нивоа тежине. Можеш да га отвориш и као PDF и да га одштампаш.

📄 Отвори радни лист (PDF, на немачком)

Прикажи решења радног листа

Пробај!

Задатак

Рационалан или ирационалан? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

Прикажи решење

a) рационалан (5) b) ирационалан c) рационалан d) ирационалан

Учи даље уз језички модел

Ти си мој наставник математике. Учим немачки као други језик. Наша тема: корен из 2 је ирационалан (дијагонала у квадрату, рационални и ирационални бројеви). Постави ми једно за другим пет кратких питања. Увек сачекај мој одговор. Онда ми реци да ли је тачно и укратко објасни зашто. Пиши једноставним немачким реченицама и после сваке реченице стави превод на српски у загради.

Како је ово настало: идеја, структура и примери серије су моји. Серија је урађена уз помоћ вештачке интелигенције: слајдове видеа направио је језички модел (LLM) по мојим упутствима. Глас је направљен помоћу Qwen3-TTS, по узору на мој сопствени глас.

И титлови, преводи, радни лист и ова страница настали су уз помоћ вештачке интелигенције. Преводе није проверио изворни говорник.

Видео снимци, радни листови, текстови и промптови ове серије објављени су под лиценцом CC BY 4.0: смеш да их користиш, мењаш и делиш ако наведеш извор.