Koren iz 2 je iracionalan

Ova stranica je prevedena sa nemačkog uz pomoć veštačke inteligencije. Nije je proverio izvorni govornik. Originalna stranica na nemačkom

Dijagonala (die Diagonale) kvadrata sa stranicom 1 je \( \sqrt{2} \). Taj broj ne može da se zapiše kao razlomak: on je iracionalan. I pogled u istoriju – od Vavilona do pitagorejaca.

📄 Otvori radni list (PDF, na nemačkom)

Video

Obrati pažnju na boje: dijagonala i \( \sqrt{2} \) su narandžaste, mali kvadrati su plavi.

Titlovi postoje na deset jezika. Biraš ih u videu dole desno.

Najvažnije

Četiri kvadrata sa stranicom 1 čine veliki kvadrat površine 4. Četiri dijagonale čine kosi kvadrat od četiri polovine – površina 2. Njegova stranica je dijagonala. Dakle dijagonala je \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).

Kosi kvadrat ima površinu 2. Njegova stranica je dijagonala \sqrt{2} . — Kosi kvadrat ima površinu 2. Njegova stranica je dijagonala \( \sqrt{2} \).

\( 1{,}4^2 = 1{,}96 \), \( 1{,}41^2 = 1{,}9881 \), \( 1{,}414^2 = 1{,}999396 \) – skoro 2, ali nikad tačno. Ni razlomci ne pogađaju tačno: \( \left(\frac{7}{5}\right)^2 = 1{,}96 \), \( \left(\frac{17}{12}\right)^2 \approx 2{,}007 \).

Dokaz: kada bi \sqrt{2} = p/q bio potpuno skraćen razlomak, p i q bi oba bila parna – kontradikcija. — Dokaz: kada bi \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) bio potpuno skraćen razlomak, \( p \) i \( q \) bi oba bila parna – kontradikcija.

Racionalni i iracionalni brojevi

Racionalan: može da se zapiše kao razlomak, npr. \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \) ili \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \) (trojka se ponavlja). Iracionalan: razlomak nije moguć, cifre nikada ne prestaju i ne ponavljaju se, npr. \( \sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots \). Ako prirodan broj nije kvadrat, njegov koren je iracionalan.

Vavilon (oko 1700. p. n. e.): glinena pločica sa \sqrt{2} \approx 1{,}414212 . Grčka (oko 500. p. n. e.): pitagorejci i Hipas. — Vavilon (oko 1700. p. n. e.): glinena pločica sa \( \sqrt{2} \approx 1{,}414212 \). Grčka (oko 500. p. n. e.): pitagorejci i Hipas.

Pitagorejci su verovali: „Sve je broj.“ Pitagorejac Hipas je, kako se priča, otkrio da stranica i dijagonala ne staju ni u jedan odnos celih brojeva. Legenda kaže da je odao tajnu i udavio se u moru. Istoričari danas smatraju legendu malo verovatnom.

Radni list

Ovde je radni list uz video (na nemačkom). Prvo još jednom sve objašnjava, a onda dolaze zadaci na tri nivoa težine. Možeš da ga otvoriš i kao PDF i da ga odštampaš.

📄 Otvori radni list (PDF, na nemačkom)

Prikaži rešenja radnog lista

Probaj!

Zadatak

Racionalan ili iracionalan? a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \sqrt{50} \)

Prikaži rešenje

a) racionalan (5) b) iracionalan c) racionalan d) iracionalan

Uči dalje uz jezički model

Ti si moj nastavnik matematike. Učim nemački kao drugi jezik. Naša tema: koren iz 2 je iracionalan (dijagonala u kvadratu, racionalni i iracionalni brojevi). Postavi mi jedno za drugim pet kratkih pitanja. Uvek sačekaj moj odgovor. Onda mi reci da li je tačno i ukratko objasni zašto. Piši jednostavnim nemačkim rečenicama i posle svake rečenice stavi prevod na srpski u zagradi.

Kako je ovo nastalo: ideja, struktura i primeri serije su moji. Serija je urađena uz pomoć veštačke inteligencije: slajdove videa napravio je jezički model (LLM) po mojim uputstvima. Glas je napravljen pomoću Qwen3-TTS, po uzoru na moj sopstveni glas.

I titlovi, prevodi, radni list i ova stranica nastali su uz pomoć veštačke inteligencije. Prevode nije proverio izvorni govornik.

Video snimci, radni listovi, tekstovi i promptovi ove serije objavljeni su pod licencom CC BY 4.0: smeš da ih koristiš, menjaš i deliš ako navedeš izvor.