Смятане с корени

Тази страница е преведена от немски с ИИ. Не е проверена от носител на езика. Оригиналът на немски

Да умножим корени означава да умножим подкоренните величини: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \). А коренът може да се запише като степен: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Видеото

Обърни внимание на цветовете: подкоренната величина е лилава, показателят е оранжев.

Има субтитри на десет езика. Избираш ги във видеото долу вдясно.

Най-важното

\( \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 \) и \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \). Двата пътя дават един и същ резултат.

Обосновка с 4-тото свойство на степените: (\sqrt{a} · \sqrt{b})^2 = a · b . — Обосновка с 4-тото свойство на степените: \( (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b \).

Умножение на корени

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) (за \( a, b \geq 0 \)). Умножаваме корени — умножаваме подкоренните величини (die Radikanden). Внимание: при събиране не важи: \( \sqrt{9 + 16} = 5 \), но \( \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \).

Две ирационални числа: \sqrt{12} · \sqrt{108} = \sqrt{4 · 36 · 9} = 2 · 6 · 3 = 36 . — Две ирационални числа: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 36 \cdot 9} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \).

Опростяване на корени: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \).

Извеждане: (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 , значи 2x = 1 и x = 1/2 . — Извеждане: \( (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 \), значи \( 2x = 1 \) и \( x = \frac{1}{2} \).

Коренът като степен

\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \), общо \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \). Примери: \( 4^{\frac{1}{2}} = 2 \), \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \).

Работният лист

Тук е работният лист към видеото (на немски). Първо той обяснява всичко още веднъж, после идват задачи на три нива на трудност. Можеш да го отвориш и като PDF и да го разпечаташ.

📄 Отвори работния лист (PDF, на немски)

Работният лист – Страница 1 — Страница 1/5

Работният лист – Страница 2 — Страница 2/5

Работният лист – Страница 3 — Страница 3/5

Работният лист – Страница 4 — Страница 4/5

Покажи решенията на работния лист

Работният лист – Страница 5 — Страница 5/5

Опитай!

Задача

Пресметни: a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \) b) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \) c) \( 9^{\frac{1}{2}} \) d) \( 27^{\frac{1}{3}} \)

Покажи решението

a) \( 4 \) b) \( 9 \) c) \( 3 \) d) \( 3 \)

Учи нататък с езиков модел

Ти си моят учител по математика. Уча немски като втори език. Нашата тема: смятане с корени (корен от a по корен от b = корен от a по b, коренът като степен с дробен показател). Дай ми една след друга пет кратки задачи. Винаги чакай моя отговор. После ми кажи дали е вярно и обясни накратко защо. Пиши с прости немски изречения и след всяко изречение дай превод на български в скоби.

Как е създадено: идеята, структурата и примерите на поредицата са мои. Реализирана е с помощта на ИИ: слайдовете на видеото са създадени от езиков модел (LLM) по мои указания. Гласът е генериран с Qwen3-TTS по образец на моя собствен глас.

Субтитрите, преводите, работният лист и тази страница също са създадени с помощта на ИИ. Преводите не са проверени от носител на езика.

Видеата, работните листове, текстовете и промптовете от тази поредица са под лиценз CC BY 4.0: можеш да ги използваш, променяш и споделяш, ако посочиш източника.