targas-edu.de
DE ☾ A+

Rachunki z pierwiastkami

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Mnożenie pierwiastków to mnożenie liczb podpierwiastkowych: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \). A pierwiastek można zapisać jako potęgę: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).
📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

Zwróć uwagę na kolory: liczba podpierwiastkowa jest fioletowa, wykładnik jest pomarańczowy.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Spis treści filmu

  1. 0:00 Wstęp
  2. 0:15 Przykład
  3. 0:54 Dlaczego to działa?
  4. 1:26 Dwie liczby niewymierne
  5. 2:07 Upraszczanie pierwiastków
  6. 2:27 Uwaga, błąd!
  7. 2:48 Pierwiastek jako potęga
  8. 3:28 Pierwiastek n-tego stopnia jako potęga
  9. 4:01 Spróbuj sam

Najważniejsze

\( \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 \) i \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \). Obie drogi prowadzą do tego samego wyniku.

Uzasadnienie 4. prawem potęgowania: (\sqrt{a} · \sqrt{b})^2 = a · b .
Uzasadnienie 4. prawem potęgowania: \( (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b \).

Mnożenie pierwiastków

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) (dla \( a, b \geq 0 \)). Mnożenie pierwiastków znaczy mnożenie liczb podpierwiastkowych. Uwaga: to nie działa przy plusie: \( \sqrt{9 + 16} = 5 \), ale \( \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \).

Dwie liczby niewymierne: \sqrt{12} · \sqrt{108} = \sqrt{4 · 36 · 9} = 2 · 6 · 3 = 36 .
Dwie liczby niewymierne: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 36 \cdot 9} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \).

Upraszczanie pierwiastków: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \).

Wyprowadzenie: (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 , więc 2x = 1 i x = 1/2 .
Wyprowadzenie: \( (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 \), więc \( 2x = 1 \) i \( x = \frac{1}{2} \).

Pierwiastek jako potęga

\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \), ogólnie \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \). Przykłady: \( 4^{\frac{1}{2}} = 2 \), \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Karta pracy – Strona 1
Strona 1/5
Karta pracy – Strona 2
Strona 2/5
Karta pracy – Strona 3
Strona 3/5
Karta pracy – Strona 4
Strona 4/5
Pokaż rozwiązania z karty pracy
Karta pracy – Strona 5
Strona 5/5

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz: a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \) b) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \) c) \( 9^{\frac{1}{2}} \) d) \( 27^{\frac{1}{3}} \)

Pokaż rozwiązanie

a) \( 4 \) b) \( 9 \) c) \( 3 \) d) \( 3 \)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Rechnen mit Wurzeln (Wurzel a mal Wurzel b = Wurzel aus a mal b, Wurzel als Potenz mit Bruch im Exponenten). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.