Piąte prawo potęgowania

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Dzielenie potęg o tym samym wykładniku: dzielimy podstawy, wykładnik zostaje. \( a^n : b^n = (a : b)^n \). Odwrotnie zachodzi: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \).

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

Zwróć uwagę na kolory: podstawy są w kolorach niebieskim i fioletowym, wykładnik jest pomarańczowy.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

\( 6^3 : 2^3 = 216 : 8 = 27 \). Jako ułamek: na górze sześć stoi trzy razy, na dole dwa trzy razy. Każda para \( \frac{6}{2} \) to \( 3 \). Zatem \( 3^3 = 27 \).

6^3 : 2^3 = 6/2 · 6/2 · 6/2 = 3^3 = 27 — \( 6^3 : 2^3 = \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2} = 3^3 = 27 \)

5. prawo potęgowania

\( a^n : b^n = (a : b)^n \). Ten sam wykładnik: dzielimy podstawy, wykładnik zostaje taki sam. Sztuczka: \( 100^4 : 25^4 = 4^4 = 256 \).

Ułamek do potęgi n : \left(2/3\right)^2 = 2^2/3^2 = 4/9 . — Ułamek do potęgi \( n \): \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \).

Uwaga: w 2. prawie jest taka sama podstawa, wtedy odejmujemy wykładniki: \( 5^6 : 5^2 = 5^4 \). W 5. prawie jest taki sam wykładnik, wtedy dzielimy podstawy.

Wszystkie pięć praw potęgowania w skrócie.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Oblicz: a) \( 8^3 : 2^3 \) b) \( 20^4 : 10^4 \) c) \( \left(\frac{2}{5}\right)^2 \) d) \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)

Pokaż rozwiązanie

a) \( 4^3 = 64 \) b) \( 2^4 = 16 \) c) \( \frac{4}{25} \) d) \( \frac{1}{8} \)

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: das fünfte Potenzgesetz (a hoch n geteilt durch b hoch n = (a geteilt durch b) hoch n) und Brüche potenzieren. Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.