Действия с корнями

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

Перемножать корни — значит перемножать подкоренные выражения: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \). А корень можно записать как степень: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

Обрати внимание на цвета: подкоренное выражение — фиолетовое, показатель — оранжевый.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

\( \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 \) и \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \). Оба пути дают один результат.

Обоснование по 4-му свойству степеней: (\sqrt{a} · \sqrt{b})^2 = a · b . — Обоснование по 4-му свойству степеней: \( (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b \).

Умножение корней

\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) (при \( a, b \geq 0 \)). Перемножать корни — значит перемножать подкоренные выражения (die Radikanden). Внимание: для сложения это неверно: \( \sqrt{9 + 16} = 5 \), но \( \sqrt{9} + \sqrt{16} = 7 \).

Два иррациональных числа: \sqrt{12} · \sqrt{108} = \sqrt{4 · 36 · 9} = 2 · 6 · 3 = 36 . — Два иррациональных числа: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{4 \cdot 36 \cdot 9} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \).

Упрощение корней: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \), \( \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \).

Вывод: (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 , значит 2x = 1 и x = 1/2 . — Вывод: \( (a^x)^2 = a^{2x} = a^1 \), значит \( 2x = 1 \) и \( x = \frac{1}{2} \).

Корень как степень

\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \), в общем виде \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \). Примеры: \( 4^{\frac{1}{2}} = 2 \), \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \).

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/5

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/5

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/5

Рабочий лист – Страница 4 — Страница 4/5

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 5 — Страница 5/5

Попробуй!

Задание

Вычисли: a) \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \) b) \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \) c) \( 9^{\frac{1}{2}} \) d) \( 27^{\frac{1}{3}} \)

Показать решение

a) \( 4 \) b) \( 9 \) c) \( 3 \) d) \( 3 \)

Учиться дальше с языковой моделью

Ты мой учитель математики. Я учу немецкий как второй язык. Наша тема: действия с корнями (корень из a на корень из b = корень из a на b, корень как степень с дробным показателем). Дай мне по очереди пять коротких заданий. Всегда жди моего ответа. Потом скажи, правильно ли, и коротко объясни почему. Пиши простыми немецкими предложениями и после каждого предложения давай перевод на русский в скобках.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.