Wartości ekstremalne: minimum i maksimum

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Wierzchołek jest najniższym albo najwyższym punktem paraboli. Odczytujesz minimum (das Minimum) i maksimum (das Maximum).

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie odczytujemy wartości ekstremalne z postaci kanonicznej i z postaci ogólnej.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Minimum i maksimum

\(a > 0\): otwarta w górę, wierzchołek jest najniższym punktem, minimum. \(a < 0\): otwarta w dół, wierzchołek jest najwyższym punktem, maksimum. Wartość ekstremalna to wartość \(y\) wierzchołka.

Parabola z minimum -3 i parabola z maksimum 4. — Parabola z minimum \(-3\) i parabola z maksimum \(4\).

Przykłady

\(y = -(x-2)^2 + 3\): \(S(2\,|\,3)\), \(3\) to maksimum, przy \(x = 2\). \(y = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3\): \(S(2\,|\,-3)\), \(-3\) to minimum, przy \(x = 2\).

y = (x-2)^2 - 3 ma minimum -3. — \(y = (x-2)^2 - 3\) ma minimum \(-3\).

Zbiór wartości

Minimum \(-3\): \(y \geq -3\). Maksimum \(3\): \(y \leq 3\). Uwaga: wartość ekstremalna to wartość \(y\), a nie współrzędna \(x\).

Przerywane linie przy y = -3 i y = 3 to granice. — Przerywane linie przy \(y = -3\) i \(y = 3\) to granice.

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Czy \(y = x^2 + 6x + 4\) ma minimum, czy maksimum? Ile wynosi wartość ekstremalna i przy którym \(x\) jest osiągana?

Pokaż rozwiązanie

\(y = (x+3)^2 - 5\), \(a = 1 > 0\): minimum \(-5\) przy \(x = -3\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Extremwerte quadratischer Funktionen (Minimum, Maximum, Wertebereich). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.