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Problema de optimización: el parterre junto a la valla

Esta página se tradujo del alemán con IA. Ningún hablante nativo la ha revisado. Página original en alemán

Tienes \(24\,\text{m}\) de valla para un parterre junto a la pared de la casa. ¿Qué ancho debe tener el parterre para que el área sea lo mayor posible?
📄 Abrir la hoja de trabajo (PDF, en alemán)

El vídeo

En el vídeo planteamos la función del área y leemos el máximo en el vértice.

Hay subtítulos en diez idiomas. Los eliges en el vídeo, abajo a la derecha.

Contenido del vídeo

  1. 0:00 Introducción
  2. 0:17 Plantear la función
  3. 0:49 Calcular el máximo
  4. 1:28 El resultado en la gráfica
  5. 1:52 ¡Cuidado, error!
  6. 2:14 Pruébalo tú mismo

Lo más importante

Plantear la función

Ancho \(x\); los dos lados cortos necesitan \(2x\) de valla; el lado largo es \(24 - 2x\). Área: \(A(x) = x\cdot(24 - 2x) = -2x^2 + 24x\). Como \(a < 0\), hay un máximo.

Esquema: ancho x, ancho x, lado largo 24 - 2x.
Esquema: ancho \(x\), ancho \(x\), lado largo \(24 - 2x\).

Calcular el máximo

\(A(x) = -2(x-6)^2 + 72\), \(S(6\,|\,72)\). Ancho \(6\,\text{m}\), largo \(24 - 12 = 12\,\text{m}\), área \(72\,\text{m}^2\).

El punto más alto de la gráfica es S(6\,|\,72). En x = 0 y x = 12 no hay área.
El punto más alto de la gráfica es \(S(6\,|\,72)\). En \(x = 0\) y \(x = 12\) no hay área.

Cuidado: el lado largo no es \(24 - x\), porque el ancho \(x\) aparece dos veces. Comprobación: \(x + x + (24 - 2x) = 24\).

La hoja de trabajo

Aquí ves la hoja de trabajo del vídeo (en alemán). Arriba explica todo otra vez; después hay ejercicios con tres niveles de dificultad. También puedes abrirla como PDF e imprimirla.

📄 Abrir la hoja de trabajo (PDF, en alemán)

La hoja de trabajo – Página 1
Página 1/4
La hoja de trabajo – Página 2
Página 2/4
La hoja de trabajo – Página 3
Página 3/4
Mostrar las soluciones de la hoja de trabajo
La hoja de trabajo – Página 4
Página 4/4

Pruébalo tú mismo

Ejercicio

Tienes \(40\,\text{m}\) de valla para un parterre junto a la pared de la casa. ¿Qué ancho debe tener para que el área sea máxima? ¿Cuánto vale?

Mostrar la solución

\(A(x) = x(40-2x) = -2(x-10)^2 + 200\): ancho \(10\,\text{m}\), área \(200\,\text{m}^2\).

Seguir aprendiendo con un modelo de lenguaje

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Extremwertaufgabe (Fläche maximal, Zaun an der Hauswand). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Así se hizo: la idea, la estructura y los ejemplos de la serie son míos. Los realicé con ayuda de IA: un modelo de lenguaje (LLM) construyó las diapositivas del vídeo siguiendo mis instrucciones. La voz se generó con Qwen3-TTS, a partir de mi propia voz.

También los subtítulos, las traducciones, la hoja de trabajo y esta página se hicieron con ayuda de IA. Ningún hablante nativo ha revisado las traducciones.

Los vídeos, las hojas de trabajo, los textos y los prompts de esta serie tienen la licencia CC BY 4.0: puedes usarlos, modificarlos y compartirlos si nombras la fuente.