Zadanie optymalizacyjne: rabata przy płocie

Ta strona została przetłumaczona z niemieckiego z pomocą AI. Nie sprawdziła jej osoba, dla której polski jest językiem ojczystym. Oryginalna strona po niemiecku

Masz \(24\,\text{m}\) ogrodzenia na rabatę przy ścianie domu. Jak szeroka musi być rabata, żeby pole było jak największe?

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Film

W filmie układamy funkcję pola i odczytujemy maksimum w wierzchołku.

Napisy są dostępne w dziesięciu językach. Wybierasz je w filmie, w prawym dolnym rogu.

Najważniejsze

Układanie funkcji

Szerokość \(x\); dwa krótkie boki potrzebują \(2x\) ogrodzenia; długi bok to \(24 - 2x\). Pole: \(A(x) = x\cdot(24 - 2x) = -2x^2 + 24x\). Ponieważ \(a < 0\), jest maksimum.

Szkic: szerokość x, szerokość x, długi bok 24 - 2x. — Szkic: szerokość \(x\), szerokość \(x\), długi bok \(24 - 2x\).

Obliczanie maksimum

\(A(x) = -2(x-6)^2 + 72\), \(S(6\,|\,72)\). Szerokość \(6\,\text{m}\), długość \(24 - 12 = 12\,\text{m}\), pole \(72\,\text{m}^2\).

Najwyższy punkt wykresu to S(6\,|\,72). Przy x = 0 i x = 12 nie ma pola. — Najwyższy punkt wykresu to \(S(6\,|\,72)\). Przy \(x = 0\) i \(x = 12\) nie ma pola.

Uwaga: długi bok to nie \(24 - x\), bo szerokość \(x\) występuje dwa razy. Sprawdzenie: \(x + x + (24 - 2x) = 24\).

Karta pracy

Tutaj widzisz kartę pracy do filmu (po niemiecku). Na górze jeszcze raz wszystko tłumaczy, potem są zadania w trzech stopniach trudności. Możesz ją też otworzyć jako PDF i wydrukować.

📄 Otwórz kartę pracy (PDF, po niemiecku)

Pokaż rozwiązania z karty pracy

Spróbuj sam

Zadanie

Masz \(40\,\text{m}\) ogrodzenia na rabatę przy ścianie domu. Jak szeroka musi być, żeby pole było maksymalne? Ile wynosi?

Pokaż rozwiązanie

\(A(x) = x(40-2x) = -2(x-10)^2 + 200\): szerokość \(10\,\text{m}\), pole \(200\,\text{m}^2\).

Uczyć się dalej z modelem językowym

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Extremwertaufgabe (Fläche maximal, Zaun an der Hauswand). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Tak to powstało: pomysł, układ i przykłady serii są moje. Zrealizowałem je z pomocą AI: model językowy (LLM) zbudował slajdy do filmu według moich wskazówek. Głos wygenerowano za pomocą Qwen3-TTS na wzór mojego własnego głosu.

Napisy, tłumaczenia, karta pracy i ta strona również powstały z pomocą AI. Tłumaczeń nie sprawdziła żadna osoba, dla której polski jest językiem ojczystym.

Filmy, karty pracy, teksty i prompty z tej serii są udostępnione na licencji CC BY 4.0: możesz je używać, zmieniać i udostępniać, jeśli podasz źródło.