Задача на экстремум: грядка у забора

Эта страница переведена с немецкого с помощью ИИ. Носитель языка её не проверял. Оригинал на немецком

У тебя \(24\,\text{м}\) забора для грядки у стены дома. Какой ширины должна быть грядка, чтобы площадь была как можно больше?

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Видео

В видео мы составляем функцию площади и находим максимум по вершине.

Субтитры есть на десяти языках. Выбери их в видео справа внизу.

Самое важное

Составляем функцию

Ширина \(x\); две короткие стороны требуют \(2x\) забора; длинная сторона равна \(24 - 2x\). Площадь: \(A(x) = x\cdot(24 - 2x) = -2x^2 + 24x\). Так как \(a < 0\), есть максимум.

Эскиз: ширина x, ширина x, длинная сторона 24 - 2x. — Эскиз: ширина \(x\), ширина \(x\), длинная сторона \(24 - 2x\).

Находим максимум

\(A(x) = -2(x-6)^2 + 72\), \(S(6\,|\,72)\). Ширина \(6\,\text{м}\), длина \(24 - 12 = 12\,\text{м}\), площадь \(72\,\text{м}^2\).

Самая высокая точка графика — S(6\,|\,72). При x = 0 и x = 12 площади нет. — Самая высокая точка графика — \(S(6\,|\,72)\). При \(x = 0\) и \(x = 12\) площади нет.

Внимание: Длинная сторона не \(24 - x\), ведь ширина \(x\) встречается дважды. Проверка: \(x + x + (24 - 2x) = 24\).

Рабочий лист

Здесь рабочий лист к видео (на немецком). Сначала он ещё раз всё объясняет, потом идут упражнения трёх уровней сложности. Его можно открыть как PDF и распечатать.

📄 Открыть рабочий лист (PDF, на немецком)

Рабочий лист – Страница 1 — Страница 1/4

Рабочий лист – Страница 2 — Страница 2/4

Рабочий лист – Страница 3 — Страница 3/4

Показать решения рабочего листа

Рабочий лист – Страница 4 — Страница 4/4

Попробуй!

Задание

У тебя \(40\,\text{м}\) забора для грядки у стены дома. Какой ширины должна быть грядка, чтобы площадь была наибольшей? Чему она равна?

Показать решение

\(A(x) = x(40-2x) = -2(x-10)^2 + 200\): ширина \(10\,\text{м}\), площадь \(200\,\text{м}^2\).

Учиться дальше с языковой моделью

Du bist meine Mathe-Lehrkraft. Ich lerne Deutsch als Zweitsprache. Unser Thema: Extremwertaufgabe (Fläche maximal, Zaun an der Hauswand). Stelle mir nacheinander fünf kurze Aufgaben. Warte immer auf meine Antwort. Sag mir dann, ob sie richtig ist, und erkläre kurz, warum. Benutze einfache deutsche Sätze.

Как это сделано: идея, структура и примеры серии — мои. Реализована серия с помощью ИИ: слайды видео по моим указаниям создала языковая модель (LLM). Голос создан с помощью Qwen3-TTS по образцу моего собственного голоса.

Субтитры, переводы, рабочий лист и эта страница тоже созданы с помощью ИИ. Переводы не проверял носитель языка.

Видео, рабочие листы, тексты и промпты этой серии распространяются по лицензии CC BY 4.0: их можно использовать, изменять и распространять с указанием источника.